Número Phi

El número de oro y la Pirámide de Keops

En Matemáticas en la vida diaria o  en alguna ocasión nos hemos encontrado con un número muy importante  que es conocido como número de oro, o proporción aúrea o 




razón aurea, o simplemente número phi.

Este número tan especial es muy famoso puesto que aparece constantemente en la naturaleza, por ejemplo en el crecimiento de las plantas, en la formación de huracanes o en la forma que toman ciertos moluscos. Pero la cosa no queda ahí, y es que el número de oro también aparece mucho en resultados matemáticos sin nada que ver entre ellos.

Todo este misterio que lo rodea ha despertado el interés de artistas como Leonardo Da Vinci y Alberto Durero, que lo han utilizado como sinónimo de belleza para proporcionar sus obras.

Otra manifestación artística que ha hecho uso del número phi es la arquitectura. Ejemplos de utilización de este valor son el Partenón de Atenas, la catedral de Notre Dame y la Torre Eiffel en París o la Gran Pirámide de Keops en Egipto, que es la protagonista de este post.

En efecto, parece que los antiguos egipcios conocían la existencia de este valor cuando en el año 2000 a.C. se levantó esta faraónica construcción y lo hicieron aparecer en sus proporciones hasta en tres ocasiones… que sepamos.

En primer lugar vamos a definir varias medidas para realizar las cuentas con más comodidad.

Sea L igual al ancho de la base de cada lado de la pirámide. En este caso, como la pirámide es de base cuadrada, los cuatro lados tendrán la misma longitud, que es L=230 metros. También vamos a definir como A a la distancia que hay entre el punto medio de cada lado de la base del triángulo hasta el vértice superior de la pirámide, que es A=186,07.

Entonces ya estamos en condiciones de ver las tres relaciones:

• Si dividimos A entre L/2 (es decir, la altura del triángulo entre la mitad de la base del triángulo) el resultado es 186,07/115=1,618 que es el número phi.
• Por otra parte, si dividimos el área total de la pirámide, es decir, la suma del área de la base más las cuatro áreas triangulares entre esas cuatro áreas triangulares, el valor resultante es también el número de oro. (Recuerda que el área del cuadrado es LxL y el del triángulo es (LxA)/2)
• Por último, si dividimos la suma de las cuatro áreas triangulares entre el área de la base cuadrada, voilà, el resultado nuevamente es 1,618.

Esta aplicación arquitectónica del número de oro ( Razón Aúrea)  es la más antigua que se conoce hasta el momento, y la verdad que es realmente fascinante.

Sección Áurea y la Gran Pirámide de Keops

Como ya lo analizamos, la réplica de la pirámide de Keops puede obtenerse a partir de seccionar dos cubos tomando como referencia tres de sus diagonales. También analizamos la hipótesis acerca de que dentro de un cubo está una circunferencia. Ahora analizaremos el objetivo central de éste artículo, la razón dorada en la Gran Pirámide de Keops. Pero ¿qué es la razón o sección dorada? Desde el punto de vista matemático se dice que de un cuadrilátero regular de lados a y b, si éstos lados cumplen la condición:, siendo a el lado mayor, entonces existe una razón dorada. Suponiendo que b = 1 obtenemos sustituyendo en la condición un valor de a = 1.6180. [5] Aún así es necesario reafirmar esta idea matemática. También se define la razón dorada como “aquel número que aumentado o disminuido de la unidad es igual a su recíproco”. Esta expresión traducida al lenguaje algebráico queda:

	1
x ± 1 =
	x

Para resolverla, primeramente removemos denominadores:

	1
x ± 1 =			(Expresando los enteros en forma de fracción)
	x

1 x ± 1 = (Incorporando el m.c.m.) x

x2 ± x = 1 (resolviendo la fracción) x

Como ya removimos el denominador, la expresión obtenida es:

x² ± x = 1

Observamos que es una ecuación cuadrática, por ello la expresamos en su forma general simplificada:

x2 ± x - 1 = 0

(1)

Para encontrar los valores de la incógnita, aplicaremos la fórmula general de solución de ecuaciones cuadráticas.

(2)

Debemos recordar que una vez contando con la fórmula general, lo único por hacer es sustituir los valores de los coeficientes de la variable x de la forma general, en la fórmula, sabiendo que la literal a de la fórmula está reservada para el coeficiente del término cuadrático, la literal b en la fórmula lo está para el coeficiente de la variable lineal, y la literal c en la fórmula, lo está para el término independiente.
En nuestro caso, el coeficiente de la variable cuadrática vale +1; el coeficiente de la variable lineal, vale ±1; y el coeficiente del término independiente vale –1. Se hace la aclaración de que como el término lineal de la ecuación tiene valor de ± 1, en la fórmula podemos escribir el 1 ya sea con signo negativo o positivo, pues el resultado no se alterará, solo habrá diferencia en los signos de las soluciones. (Se deja el ejercicio al lector). Con ello, la sustitución queda:

Nótese que escogimos, sin importar, el valor negativo para el término lineal de la ecuación. Resolviendo, tenemos:

(3)

De la expresión algebraica (3), encontramos las dos soluciones de la ecuación:

Para x1:

(4)

Para x2:

(5)

Las expresiones (4) y (5) proporcionan las soluciones de la ecuación propuesta. Observamos que la expresión (4) conserva un valor positivo, mismo que tomamos como una solución apropiada. Aunque en la ecuación (5) el resultado es negativo, tomamos su valor absoluto como solución. Entonces ambos resultados son los valores del número de oro, designado por la letra griega “fi” o Ø
Desde el punto de vista artístico, éste valor cobró mucha importancia entre los arquitectos y artistas griegos en el diseño de sus construcciones y obras de arte, perdiéndose un poco durante el imperio romano y la edad media, volviendo a cobrar fuerza a partir del renacimiento. Por ejemplo, en las construcciones griegas y los cuadros renacentistas, los valores de las expresiones (4) y (5), 1. 6180 y 0.618 estaban plasmados de tal forma que al tratarse de una obra rectangular, el largo debía exceder al ancho en la razón de 1.618, o también 0.618. Es decir, que un lado debía ser mayor que el otro en ese valor, si el ancho media, por decir, 10 metros, el largo debía medir (10) (1.6180) = 16.180 metros, o también (10) (0.618)= 6.18, haciendo por arte de magia que la obra tuviera una belleza especial que aunada a la habilidad del artista, diese como resultado una obra de una belleza inusual, poco común, una belleza “dorada”.

Figura 8. Dos grandes obras artísticas humanas. A la izquierda el Partenón (de la época de la Grecia clásica) y a la derecha, el Palacio de El Escorial (de la España renacentista de Felipe II). Ambos monumentos están diseñados con base en la llamada sección dorada, misma que les otorga una belleza irresistible.

Volviendo al análisis de la sección dorada en la pirámide de Keops ésta fue construida sobre la meseta rocosa de Gizeh. Se ha dicho que los arquitectos reales mandaron colocar 325 bloques de piedra formando una hilera y que dispusieron otra en ángulo recto, y dos más para formar la base cuadrada. Llenaron el interior de bloques, dejando algunos huecos para los pasajes, hasta completar un total aproximado de 105,625, para lo que sería el primer nivel. Redujeron el número de bloques para el segundo nivel y sucedió lo mismo con el siguiente, así como el tamaño de las piedras. Al llegar a la punta habían utilizado poco más de dos millones de toneladas, de acuerdo con los expertos.

Eran tantas las piedras que cuando Napoleón Bonaparte contempló el monumento declaró, no sin razón, que podría construirse con éstas un muro de tres metros de alto que podría dar la vuelta a Francia. (Recuérdese que Napoleón se hizo acompañar a sus expediciones hacia Egipto de dos grandes matemáticos franceses, Lagrange y Laplace y que de éste viaje, el primero se interesó en estudiar la propagación del calor).

En la actualidad la Gran Pirámide está truncada, puesto que remata en una plataforma cuadrada de 11.7 metros de lado y no en punta como debió ser en sus orígenes. Esto no sucedió con la pirámide de Kefrén, que sigue aún con su punta prácticamente intacta. La plataforma de Keops se encuentra a 139.4 metros de altura, pero es de suponer que el monumento fue algo más elevado en otros tiempos, porque al pie se ven enormes bloques regados sobre la arena. Son los pobladores del lugar los que echaron abajo las piedras con la ayuda de los turistas que querían poner a prueba los músculos o, sencillamente, porque unos y otros eran unos vándalos.

Cuando Plinio el Viejo visitó Egipto, hace unos 20 siglos, halló una plataforma de 4.9 metros de lado. Y mil años más tarde, el árabe Solt El –Andalusí especificaba que sobre la plataforma podrían tenderse, si alguien hallara la forma de hacerlo, ocho camellos de regular tamaño.

En 1842, Gerardo de Nerval, poeta francés de profesión, trepó hasta la cumbre y como resultado de su visita dejó a la posteridad un Viaje a Oriente, tan documentado como divertido. Explicaba en su libro que tuvo la paciencia de contar los niveles de la Gran Pirámide y vio que eran 207. Se han reducido a 203, aunque en la actualidad es poco probable que sigan disminuyendo, pues hay soldados armados que no permiten a los turistas jugar con las piedras. Lo que si es una incógnita en la actualidad, es saber el número exacto de pisos de tan magnifica construcción.

Una hipótesis acerca de éste misterio es la propuesta hecha por algunos investigadores, que insisten en escribir los cuatro primeros números primos y multiplicarlos entre sí: (2) (3) (5) (7) = 210. Valor hipotético que da una idea del número de niveles. Con éste dato se supone que la altura original debió aproximarse a 143.5 metros en lugar de los 139.4 metros que conocemos actualmente.

En cuanto a los lados de la base, no existe la menor duda de que han cambiado sensiblemente al paso de los milenios, a causa de los deterioros sufridos. El lado que corresponde a la cara norte tiene en la actualidad 230.35 metros y la del sur, 230.40 metros. La cara este mide 230.40 metros y la oeste, 230.36 metros. La diferencia entre las caras es prácticamente nula, de apenas de metro. Es de suponerse que este margen de error no existía cuando las cuatro caras tenían aún su revestimiento de caliza.

Aún en nuestros días podemos observar importantes relaciones matemáticas en la Gran Pirámide, sobretodo con la constante . Algunos investigadores sostienen que éste valor corresponde a la suma de los valores de los cuatro lados de la base y dividiendo ese resultado por el doble de la altura. No importando que las unidades de medida sean metros, yardas o codos piramidales, que sirvieron de unidad a los arquitectos egipcios. (El valor del codo piramidal es de 63.57 cm. Según Piazzi Smith).

De éstos análisis también se sugiere que Pitágoras conoció el valor de , siendo de llevándolo consigo a Grecia. Otro gran estudioso de las matemáticas egipcias, Flinders Petrie, dedujo que cada lado de la base de la pirámide media 400 codos, la altura, 280 codos, deduciendo que la medida del codo debía ser de 52.37 cm.

Un tercer valor, propuesto por Al- Mamún, califa de El Cairo, a fines del siglo IX de la era cristiana, quién sugirió que el codo podría ser el del lado de la base, siendo aproximadamente un poco menos de 58 cm. Regresando al valor de el Papiro de Rhind menciona que es posible encontrar la superficie de un círculo, elevando al cuadrado los de su diámetro, fórmula que concedía a el valor de 3.1605. Ese mismo documento contenía la fórmula rápida para calcular la altura de una pirámide partiendo de un lado de la base y la inclinación de sus caras.

Detallando ésta última fórmula, deducimos que los matemáticos egipcios tenían una idea muy aproximada del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. (Funciones trigonométricas de la actualidad). De acuerdo a esos datos la inclinación de la Gran Pirámide es de 51 0 51'.

Con ayuda de la calculadora observamos que el valor de la cotangente de ese ángulo es: 0.785. Recuérdese que la cotangente es el resultado de dividir, en un triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 51 0 51' el valor del cateto adyacente por el valor del cateto opuesto. Pues bien, el valor de dicha cotangente, 0.785 multiplicado por el número de caras de la pirámide (4) se obtiene un valor asombrosamente cercano a : (0.785) (4) = 3.1420.

Ahora, ya le toca hacerse presente al número de oro en la Gran Pirámide. El valor del coseno del ángulo 51 0 51' es 0.6180 mientras que el de su recíproco, es decir de la cosecante (tal y como lo propone el planteamiento del problema que se resuelve a través de una ecuación de segundo grado), es de 1.6180.

A la altura del nivel 15 se abre la entrada principal a la pirámide, largo tiempo disimulada entre los bloques y que posee algunos detalles curiosos. Uno de éstos es que no se encuentra en la apotema de la cara, sino ligeramente desviada. En el dintel puede observarse la inscripción que mandó grabar Lepsius en honor de su soberano y que carece de importancia. Mucho más interesante es cierto tetragrama conocido como el Ojo del Horizonte o Signo del Horizonte. Afirman muchos investigadores que en el tetragrama reside el verdadero misterio de la construcción y encierra la clave de sus enigmas. Otro enigma matemático lo ofrece el pasaje descendente, cuya inclinación es de 26 0 34' con respecto al plano de la base.

Para darse cuenta de una posible hipótesis de el por qué esta inclinación, hagamos lo siguiente con la calculadora: Dividamos 34 por 60 para transformar los minutos a fracción decimal, es decir que en lugar de teclear 26 0 34', tecleo 26.5666666, (pues la calculadora manejará más efectivamente éste dato), enseguida presiono la tecla “tan”, y obtengo 0.500035, es decir hemos obtenido el valor de la tangente de ese ángulo, por último presiono la tecla correspondiente a “ 1/x ” para encontrar su recíproco, (como lo menciona el planteamiento de la ecuación de segundo grado analizada), y obtengo 1.9999859, es decir, una gran aproximación al número 2, primer numero primo.

Volviendo a nuestro “recorrido” por el interior de la Gran Pirámide, el pasaje penetra hasta alcanzar una longitud de 97.25 metros y viene a desembocar, después de un tramo horizontal, en la misteriosa Cámara del Caos, que tiene su equivalente en la pirámide del Sol, en Teotihuacan.

Dicho pasaje descendente tiene una particularidad que ha permitido a diversos astrónomos aficionados al tema calcular la fecha probable en que fue construida la Gran Pirámide. Se ha descubierto que el pasaje está orientado a una estrella. Colocándose en el extremo inferior del pasaje descendente y mirando hacia el extremo superior, percibimos la estrella de Alfa Dragón. Aunque se ha establecido la hipótesis de que originalmente debió apuntar directamente hacia la Estrella Polar. Por ello es que se presume que éste magnifico monumento debió construirse hacia el año 2,700 A. J.

En la entrada principal se abre otro pasaje, este ascendente, con la misma inclinación que el descendente: 26 0 34' Después de recorrer 37.49 metros en extremo incómodos, se abren tres caminos. Uno es el que debieron tomar los obreros al llegar a su fin los trabajos, para abandonar el lugar. El otro pasaje es horizontal. Tiene una longitud de 39.29 metros y llega a la Cámara de la Reina, donde Flinders Petrie trató de definir la relación que pudo tener con la transferencia del alma del faraón. La tercera vía asciende ligeramente para convertirse en la Gran Galería y conduce a la cámara más importante del monumento, la Cámara del Rey, que encierra un sarcófago de granito completamente vacío.

Esta cámara posee curiosas dimensiones, basadas en el número 5 y también en √5, que son clave para la solución de la ecuación de segundo grado. En el techo hay 5 enormes vigas de piedra, cada una de 70 toneladas aproximadamente, dispuestas por los arquitectos reales para aliviar la enorme presión que pesa sobre la cámara y evitar los derrumbes.

Haga el lector el siguiente experimento: con una hoja tamaño carta, enróllela circularmente, pegue con pequeñas tiras de cinta adhesiva los extremos de la hoja formando una columna de papel. Ahora coloque un cuaderno de cien hojas sobre ella, y observará que no se dobla ni se deforma, a pesar de soportar más de cien veces su propio peso, ahora agregue otro cuaderno y notará que empieza a deformarse, aunque tal vez resista hasta otro cuaderno, depende del tipo de papel, pero deducimos que por lo menos soporta 200 veces su propio peso a pesar de estar hueca. Si rellenamos con papel hecho “bola” el hueco de la hoja, entonces el peso que soporta será mayor, (se deja al lector la estimación de ello). Si una columna vacía resiste cuando menos 200 veces su propio peso, imaginemos la cantidad de presión que pueden resistir cinco enormes columnas de 70 toneladas.

La estimación es: (70) (200) (5) = 70,000 toneladas por lo menos. Dos detalles de esta bóveda llaman la atención. Uno es que aparece en ella una inscripción con el nombre de Khufu, por culpa de la cual se ha atribuido a este Khufu-Keops la paternidad de la gigantesca construcción.

El otro detalle es el hecho de que sean cinco las vigas y también cinco los espacios vacíos entre ellas. Según los expertos son demasiadas vigas, pues con dos de ellas se hubiera obtenido el mismo resultado, (lo que confirma los cálculos de estimación).

También el número 5 aparece en las medidas de la Cámara del Rey, que tiene forma de paralelepípedo. Fue estudiada por Flinders Petrie, quien descubrió la longitud del codo piramidal, valor que confirmara poco después al medir los lados y la altura de la Gran Pirámide.

El lado más largo de esta cámara mide 20 codos, equivalentes a 10.48 metros; su anchura es la mitad de su longitud, es decir 10 codos o aproximadamente 5.24 metros. En cuanto a la altura, es de 5 codos multiplicados por la √5 o aproximadamente, 5.85 metros. Más aún, la diagonal de cada una de las caras menores opuestas es de 15 codos, así como la diagonal que une la punta superior de una de esas caras menores con la punta inferior de la otra cara menor mide 25 codos.

De este modo, uniendo ambas puntas, obtenemos la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el lado más largo del paralelepípedo y la diagonal de la cara más pequeña. Las medidas de este triángulo rectángulo son 15, 20 y 25 codos exactos. Éste triángulo, que poseía entre los egipcios un valor sagrado, fue llamado isíaco en honor de la diosa Isis.

El plano en que se encuentra la Cámara del Rey posee características muy curiosas que el investigador mencionado dio a conocer: está situado a una distancia relativa de la punta de la pirámide igual a 2 multiplicado por su raíz cuadrada. Además la superficie del plano horizontal donde se encuentra esta cámara es la mitad de la superficie de la base de la pirámide. En consecuencia, la diagonal del cuadrado formado por la sección correspondiente a la cámara es igual a cada uno de los lados de la base del monumento. [6]

Otro investigador serio en el tema, Shwaller Lubicz, por su parte, afirma que si dividimos los 356 codos del apotema de la Pirámide por la mitad de la base, o 220 codos, obtenemos un cociente de = 1.6180. Otra idea de obtener Ø es dividir un segmento de recta como se indica en la figura.

 

Figura 9. La sección áurea o Ø se obtiene dividiendo el segmento de recta AB en un punto C, de tal forma que el total del segmento de recta (AB) sea mayor que la primera parte (AC), en la misma proporción que la primera parte (AC) sea mayor que el resto (CB).

Esto significa que: = 1.6180 = Ø. Es decir, que si tenemos un segmento de recta cualquiera AB, y hacemos una división oportuna en el punto C, la longitud total del segmento de recta AB es proporcional al segmento obtenido AC, como este segmento de recta es proporcional al segmento de recta restante CB. Esta ecuación aparentemente sencilla, está llena de un profundo significado. Platón llega en su Timeo a considerarla, lo mismo que la proporción resultante de la Sección Áurea, como la más rigurosa de las relaciones matemáticas, y para él, significa la clave de la física del cosmos.

El piso rectangular de la Cámara del Rey (que consta de dos cuadrados iguales juntos, o sea, de un rectángulo de 1 X 2) sirve también para ilustrar y obtener la sección dorada en la Gran Pirámide. Partiendo por la mitad uno de los dos cuadrados y trazando una diagonal hasta su base, el punto en que es tocada por la diagonal será Ø o 1.6180 en relación con el lado del cuadrado, que es 1². La extraña fórmula matemática, si no única, de Ø+1=ز así como también la de = Ø (otra forma de expresar “aquel número que aumentado o disminuido de la unidad es igual a su recíproco), lleva consigo una serie progresiva, llamada de Fibonacci, en que cada número es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... y en esta serie observamos que si dividimos un número con su anterior el resultado se aproxima a Ø, y mientras más se avance en la serie la razón al número anterior se aproxima cada vez más a س.

Figura 10. El rectángulo de la izquierda muestra que podemos formar un rectángulo uniendo dos cuadrados. El rectángulo del centro esquematiza la forma en que uno de los cuadrados que lo forman lo dividimos exactamente por la mitad (cuadrado en verde claro). En el rectángulo del extremo derecho se puntualiza que si el lado del cuadrado vale 1, entonces el segmento de recta. OA vale , los segmentos de recta AB y AM, valen 1 por ser lados del cuadrado y la diagonal OB que va del punto medio del lado de un cuadrado a su extremo, así como también el segmento de recta OC (que sólo ha sido trasladado sobre la base del rectángulo), valen , por Teorema de Pitágoras, y que el segmento de recta MC (en amarillo) vale ya que el segmento de recta MO vale también ½. Finalmente el segmento de recta AC vale 0.618, pues al segmento de recta MC cuyo valor es 1.618 se le quita el valor del segmento de recta MA que vale 1.

El teorema de Pitágoras muestra también que: y que además: Ø-1=0.6180. Este mismo investigador también encontró pruebas gráficas de que los egipcios del tiempo de los faraones habían obtenido una relación directa entre y Ø:

(Ø2)

(6)

Shwaller de Lubicz encontró también que en la Gran Pirámide, se observa la relación de Ø en el triángulo formado por la altura, la mitad de su base y su apotema, o lo que es lo mismo, en la sección básica transversal de la estructura. Estas proporciones crean entre los lados del triángulo una relación tal que, siendo uno la mitad de la base, la apotema es Ø y la altura es √Ø. En cuanto a ello, este investigador asegura que Herodoto si tuvo razón al decir que el cuadrado de la altura de la Pirámide es (√Ø)(√Ø)=Ø y las áreas del lado valen:

(1) (Ø) = Ø

Figura 11. El triángulo rectángulo y el número áureo.

La cuadratura del círculo, uno de los grandes problemas clásicos irresolubles sólo con el uso de la regla y el compás, pues si se emplea necesariamente el número irracional puede resolverse prácticamente como función del número áureo Ø. siendo , es decir, que 1.570796 = 1.57023 con aproximación a milésimos, en donde puede tomar convenientemente el valor de o 3.1446. Como ya se observó, en la ecuación (6) con respecto al valor de puede utilizarse la serie de Fibonacci para obtener una relación exacta del diámetro de un círculo con su circunferencia, sin tener que recurrir a .

En dicha serie, los números 21, 34, 55, si se toma 21 como diámetro de un círculo, su circunferencia será igual a ; si se calcula tradicionalmente utilizando , tenemos: (21) ()= 65.97, con aproximación a 3 centésimos. Esta aproximación, como ya dijimos se establece con los .

Los números más altos de la serie de Fibonacci van aquilatando cada vez más su valor, hasta una diezmilésima. Si continuamos la serie, por ejemplo hasta ...89, 144, 233, 377, 610 ..., un diámetro de 144 da una circunferencia de: , o (144) = 452.389, donde ya el valor de se aproxima a 3.1415; un diámetro de 233 da una circunferencia de (610) = 732, y (233)( ) = 731.99, pero ya con un valor de de 3.1416. Y así sucesivamente.

La Pirámide está diseñada de tal manera que, para todos los efectos prácticos realiza la cuadratura del círculo. Se hace la aclaración de que no es el propósito del presente artículo demostrar matemáticamente dicha propuesta, sino sólo mencionarla pues es el resultado de observaciones y conjeturas hechas por investigadores en el tema de las matemáticas egipcias y que de una u otra forma son realmente interesantes. La base de la Pirámide es un cuadrado cuyo perímetro es igual a la circunferencia de un círculo que tenga por radio la altura de la pirámide.

Figura 12. La idea de la cuadratura del círculo a través de la arquitectura de la Gran Pirámide de Egipto, es decir se trata de obtener un círculo cuya área sea congruente con la de un cuadrado. El semicírculo de la extrema izquierda es sólo un punto de referencia para tener una mejor idea de lo que se requiere, además que es clave para obtener una media proporcional a dos segmentos de recta dados. En el centro se observa un cuadrado cuyo perímetro se supone de 1,760 codos, mismos que tiene el círculo puesto que (440) (4) = 1760. En el extremo derecho está sobrepuesto el cuadrado al círculo cuyo radio representa la altura de la Pirámide. Nótese que el cuadrado no está inscrito en el círculo.

Multiplicando por cuatro la base de 440 codos, se obtienen 1,760 codos. El producto de: (280)(2 ) es próximo a 1759.29. Superponiendo el cuadrado al círculo, no solo se obtiene un diagrama interesante sino extraordinariamente útil, formado por el perímetro de la Pirámide y la circunferencia del círculo que representa. Con tres líneas más, se obtiene la sección transversal matemáticamente exacta de la Pirámide de Keops.

Figura 13. En ésta figura observamos que sólo se han agregado 3 segmentos de recta para formar dos triángulos rectángulos escalenos.

Encerrando el diagrama en otro cuadrado y aplicando la relación de Ø tal como se encuentra en la Pirámide, se obtiene una clave para reducir fácilmente superficies esféricas en planas de la misma área.

Figura 14. Ahora observamos que toda la figura anterior se ha inscrito en un cuadrado y además se le han dado los valores áureos al triángulo rectángulo. (Recuérdese la figura 8). Entonces, prolongando los lados del cuadrado menor hacia “arriba y abajo”, obtenemos un rectángulo (en rojo), cuya área es igual a la del círculo básico (en naranja).

Para obtener un rectángulo de área igual al círculo básico, solo hay que prolongar dos lados del cuadrado menor hasta que toquen los del cuadrado mayor (Figura 11). El área del rectángulo es el producto de multiplicar su longitud por su anchura, es decir:

(7)

De ahí que el área del círculo es , es decir, Ø, en este caso, en que el radio es √Ø. Pero como, el área es también 4√Ø, la misma que la del rectángulo. [7]

Desarrollando las expresiones anteriores tenemos:

(7)

pero, (8) al sustituir ésta en (7), queda:

, y al racionalizar el denominador en el primer factor, tenemos:

(9)

Claro está que queda la pregunta acerca de qué cuadrado de los anteriores es al que igualamos al área del círculo puesto que en éste algoritmo se habla de obtener un área de rectángulo igual a la de un círculo (aunque si ya “rectangulamos” un círculo, es decir, que el área del rectángulo de perímetro en rojo es igual al área del círculo en naranja, entonces sabemos que es posible cuadrar un rectángulo, y por consiguiente el círculo dado (Algoritmo de Hipócrates). [8]

Tal vez, se tenga que recurrir a una perspectiva tridimensional, situación que no se contempla en nuestro artículo. Sin embargo, insistimos, no es el objetivo del presente escrito el discutir ésta propuesta o demostrar si es o no verdadera, puesto que solamente se pretende hacer notar cómo algunos investigadores han tratado de encontrar la respuesta a tan magnifico problema y en nuestro caso utilizando las relaciones matemáticas de la Gran Pirámide de Keops.

. . . . . . . . . . . . . . .

Conclusiones

Este artículo pretendió recordar al lector un probable origen del llamado número áureo, vinculado desde luego con el arte de la construcción, pues de no ser así no tendría sentido su aplicación. Se revisaron los trabajos de dos serios investigadores en el tema, apuntando sus opiniones acerca del origen de éste número.

Se sabe que el descubrimiento de esta relación y su incorporación primero a la cultura griega y luego al siglo del gótico y posteriormente al renacimiento, trajo como consecuencia el desarrollo de importantes y bellísimas obras de arte, provocado gracias a la unión entre ciencia y arte.

En el caso de la cultura griega, la construcción del Partenón en la acrópolis ateniense, es un solo botón de la intensa muestra en esta cultura. En el caso del renacimiento lo utilizó Leonardo Da Vinci, otros artistas lo hicieron en trabajos como la “Presentación de la virgen” de Tiziano, “Sueño del niño Jesús” de Luini, “Las bodas de Caná”, de Veronés.

En la España de Felipe II también cae con peso la influencia de éste concepto, cuando el rey del imperio “donde no se pone el sol”, mando construir el magnifico Palacio de El Escorial. Y no termina ahí la relación áurea, pues la naturaleza también “utiliza” dicha relación, por ejemplo, en el crecimiento poblacional de algunas especies, en la conformación morfológica de algunos seres vivientes.

Sin embargo, quedan pendientes muchos cuestionamientos. Uno de ellos, y que es quizá el de mayor curiosidad científica sea el siguiente: ¿por qué son tan agradables al sentido de la vista las obras artísticas que conservan la relación áurea en su diseño? Sabemos que las células encargadas de la transmisión de las señales luminosas exteriores al cerebro tienen cierta disposición a transmitir o transformar esas señales en agradables, cuando estas conservan una relación áurea. ¿Acaso el cuestionamiento va más allá y tengamos que profundizar más todavía, con ayuda de la neurociencia por ejemplo? Por mientras, es un deleite que no podemos evitar al admirar las grandes obras maestras, como la Gran Pirámide de Egipto.

También en el calendario está manifiesta la razón dorada y la serie de Fibonacci. A manera de puente entre ésta colaboración y la siguiente, proponemos el siguiente problema: ¿En qué mes del año se encuentra la serie de Fibonacci con respecto a los otros meses tomando en cuenta una misma fecha? ¿Qué día tienen que nacer las personas o tiene que suceder un acontecimiento para que podamos decir que “ocurrió en el día áureo”?

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